Александр Евгеньевич Кобзев родился 30 апреля 1971 года в селе Первомайское Кашарского района Ростовской области. После окончания школы поступил в среднее профессионально-техническое училище, которое окончил в 1989 году с присвоением квалификации «тракторист-машинист сельскохозяйственного производства». В 1989—1991 годах проходил срочную службу в рядах Советской армии. В 2005 году переехал жить в Приморский край.
В мае 2023 года заключил контракт для участия в специальной военной операции, служил в 1 мотострелковом батальоне в/ч 71 443. Младший сержант Александр Кобзев принял последний бой 1 февраля 2024 года в селе Первомайское Ясиноватского района Донецкой Народной Республики.
Указом Президента Российской Федерации за мужество и героизм награждён орденом Мужества.