Александр Александрович Мельников родился 28 марта 1986 года в городе Владивосток. В 1994 году семья переехала в город Уссурийск. После окончания гимназии был призван на срочную службу, во время которой подписал контракт. По его окончании вернулся домой.

4 апреля 2022 года подписал очередной контракт и 22 апреля 2022 года отправился в командировку в зону специальной военной операции. Был несколько раз ранен, но возвращался в строй. За выполнение воинского долга награждён медалью «За укрепление боевого содружества» и орденом Мужества. Последнюю боевую задачу рядовой Мельников Александр Александрович выполнил 31 марта 2023 года у села Старомлиновка на Южно-Донецком направлении.

Указом Президента Российской Федерации за мужество и героизм награждён орденом Мужества.